Des notes destinées à éclaircir certains points
ou à apporter d'intéressants suppléments d'information
sont programmées pour apparaître lorsqu'on passe le curseur de souris
sur des icônes telles que
          
Pour des raisons de sécurité, certains navigateurs
bloquent l'apparition de ces notes (programmées en JavaScript) .
Des précieuses informations, exercices, réponses, aidant à comprendre,
à se repérer, à étendre ses connaisances sont alors perdues.

AUTORISEZ DONC VOTRE NAVIGATEUR A OUVRIR CES SCRIPTS !

Résolution d'une équation par encadrements successifs

Accueil
du Site

 
Avant 
Après

OBJECTIF

Donner un exemple de résolution d'équation par algorithme.

Une étude mathématique de l'équation doit préalablement montrer qu'elle a bien une solution dans un intervalle [A ; B] de la variable.
L'exercice est utile si cette solution ne peut pas (ou très difficilement) être trouvée par le calcul mathématique direct.

Une machine ne peut pas donner la valeur exacte de la solution.
Mais elle peut affirmer que la solution se trouve ou non entre deux valeurs qui lui sont soumises.
Quitte à ce que ces valeurs soient aussi proches qu'il est souhaitable en fonction de la précision recherchée.
On notera E l'écart maximal entre ces deux valeurs souhaité.

Le problème est posé ici de cette manière.
Une fonction de x est démontrée continue et croissante dans un intervalle [A ; B] de la variable.
On a démontreé qu'entre x=A et x=B la fonction traverse la valeur que nous notons "V".

L'algorithme est le suivant.:

Initialisation

On réserve des emplacements mémore (on dit des variables)
pour des nombres notés (A,B,C,E)

On donne à la variable A la valeur de la borne inférieure de l'intervalle
dans lequel se trouve la solution d'après l'étude mathématique.
(ex. A=0)
.
On donne à la variable B la valeur de la borne supérieure de ce même intervalle
(es. B=1)..

On fixe la précision avec laquelle on souhaite faire le calcul
en donnant à la variable E la valeur de l'écart maximal souhaité.
(ex. E=0,005)



Algorithme

Réserver une variable C
Tant que (B-A)>E
Faire
{
C = (A+B)/2
Si ( F(C) < Val) alors A reçoit la valeur C
Sinon B reçoit la valeur C
}
Fin du "Tant que...Faire"
Afficher C

//Facultativement, afficher A,B,C,E

Explication

A chaque exécution du "Faire tant que..."
On donne à x la valeur de test "milieu" de l'intervalle [A ; B]

On calcule F(x) pour cette valeur

  • Si F(x) < Val alors x est inférieur à la solution cherchée :
    Il faut augmenter la valeur de la borne inférieure : A prend la valeur de C=(A+B)/2
  • F(x) >Val alors x est supérieur à la solution cherchée
    Il faut diminuer la valeur de la borne supérieure : B prend la valeur de C=(A+B)/2


Recherche algorithmique d'une solution
pour une équation particulière.
Fonction
A(x)=(cos x+1).sin x

Une étude mathématique a montré que cette fonction est :

  • Nullle pour x =0
  • Croît jusqu'à A( / 3) ~1,299 ; son maximum. ( / 3 ~ 1,047 )
  • Puis décroît jusqu'à : A( / 2) =1 ; ( / 2 ~ 1,570 )
    Ici : Val = 1;
  • Qu'elle traverse la valeur 1 pour x dans l'intervalle ]0,1[
x
0
x=?
1
/3 ~ 1,047
/2 ~ 1,570
A(x)
0
1
 
~1,29 Max
1

Nous cherchons la solution de A(x) = 1 pour x dans l'intervalle ]0,1[

Ecrire un algorithme calculant cette solution par interpolations successives
dans l'intervalle ]0,1[ et avec une tolérance E=0.005
Fourchette E ( modifiable )
A
B
B - A
(A+B) / 2
F(C)
n

Orientation

Le langage "JavaScipt" Cours pour débutants et Cours structuré. Sommaire :
Application : Résolution d'une équation par encadrements successifs (orienté exploitation)
Application : Résolution d'une équation par encadrements successifs (programmation)
Application : Animation d'images
Application : Grapheur cartésien
Application : Grapheur paramétrique
Application : Grapheur polaire
Un site très intéressant pour les "matheux-informaticiens"
Accès à la page d'accueil générale du site :