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Instruments de mesure
Le Vernier

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Vernier
Définition générale
On nomme résolution d'un appareil de mesure la plus petite variation de la grandeur à mesurer
que l'appareil est capable de détecter.
1° Fonction
Comment mesurer une longueur avec une résolution de 0,1 mm muni d'une règle, graduée seulement en mm ?
Une règle graduée en dixièmes de millimètre serait illisible !

Le Vernier est un auxiliaire pouvant équiper tout type d'instrument de mesurage de longueurs ou d'angles
et qui a pour but d'augmenter considérablement la résolution de la lecture visuelle de sa graduation.

2° Le Pied à coulisse
Instrument de mesure des diamètres pratiquement toujours équipé d'un ou plusieurs Verniers.

2.1 Description :

Ce instrument sert principalement à mesurer les diamètres de pièces circulaires.

Il est composé d'une partie fixe portant une échelle graduée sur laquelle coulisse un curseur.

Chacune de ces deux parties est dotée d'une "mâchoire" en forme d'équerre perpendiculaire au glissement.
La pièce à mesurer sera serrée entre les deux "mâchoires".

2.2 Le repère de mesurage
Le curseur porte une graduation (en rouge sur la fig.).
dont le premier trait à gauche indique le point de mesurage sur l'échelle fixe de l'écartement des mâchoires.

Dans le schéma ci-dessous, ce trait se situe entre 1,3 et 1,4.


  • Curseur en position 0 :
    Trait 0 de la graduation mobile en face du 0 de l'échelle de mesure de la partie fixe.
    Mesure : D = 0

  • Curseur en position de mesurage :
    Le trait 0 de la graduation mobile
    se situe entre les traits de graduation 1,3 et 1,4 de l'échelle de mesure de la partie fixe.
    Mesure : 1,3 < D < 1,4

    (Les petits cercles rouges du dessin attirent votre attention sur ces deux points)

3° Le Vernier

C'est l'ensemble des traits de la graduation (en rouge sur les fig. ci-dessus) gravée sur le curseur .

Observez :

  • La longueur du Vernier est de (10 -1) = 9 graduations de l'échelle fixe.
  • La graduation du Vernier est divisée en 10 parties (Vernier décimal)


    Si la graduation fixe est subdivisée en mm
    (comme c'est le cas général dans les pays non anglo-saxons)
    le Vernier a pour longueur 9 mm
    et comporte 10 subdivisions de 0,9 mm chacune.

Les Verniers pour mesures en unités anglaises (inch)
ont une structure analogue, voir ici :


Utilisation du Vernier

Desin rappelant la situation du Vernier sur un pied à coulisse.
dans deux positions du curseur

Nous allons utiliser une échelle fixe graduée en cm et subdivisée en mm.

Voici ce que l'on observe si, partant de la position zéro du vernier (écartement nul des mâchoires),
on déplace le curseur par dixièmes de mm (0 ; + 0,1 mm ; + 0,2 mm - ; + 0,3 mm - etc...)
dans le sens de l'ouverture des becs.

.

Observez :

  • Que dans chacun des cas ci-dessus,
    un seul trait du Vernier est exactement en face d'un trait de graduation de la règle.
    (sauf, pour être complet, dans la position 0, pour les deux traits n° 0 et n° 9 du vernier)

  • Que le numéro d'ordre de ce trait du Vernier,
    (zéro pour le trait le plus à gauche et 9 pour le trait le plus à droite),
    est égal au nombre de dixièmes de millimètre dont on a séparé les mâchoires.

    Ex. Le trait 4 du Vernier se trouve exactement face à un trait de graduation de la règle fixe
    pour une ouverture des mâchoires de 0,4 mm.

Même situtaiton en partant de n'importe quel autre point de l'échelles de mesure

Nous sommes bien parvenus à mesurer très facilement
des écarts d'un dixième de millimètre
avec une règle dont la plus petite graduation est le millimètre !

En somme
Dans chacun des cas présentées sur les cinq lignes de la figure,
le nombre de 1/10 de mm du déplacement du Vernier
à partir d'un trait de graduation quelconque de l'échelle fixe
est égal
au numéro d'ordre k (0 <= k<= 9) du seul trait du Vernier
se trouvant exactement en face d'un trait de graduation de la règle.

Exemple 1 :

Quel est le diamètre de la pièce mesurée sur la fig.ci-dessous ?

Réponsee ici :

Exemple 2 :



Même question, D = ?
Réponse ici :


Histoire

L'inventeur : Pierre Vernier, mathématicien né le 19 août 1580 à Ornans (Doubs)
où il est mort le 14 septembre 1637.
Il inventa le premier dispositif de ce type pour augmenter la résolution de lecture d'angles de rotation.

(Ornans où naquit Gustave Courbet, le peintre (1819-1877) )

Ornans, levillage lui-même "les pieds dans l'eau de la Loue" et surtout son écrin : la Vallée de la Loue
valent vraiment le détour touristique... Des contrées magnifiquement sauvages,
des "Bouts du Monde" qui nous ramènent à son "Origine"...

°De l'observation à la démonstration mathématique
Pour l'usage pratique d'un Vernier, inutile d'aller au-delà le la règle qui se dégage des observations précédentes.
Mais certains aiment approfondir...alors...forons !
1° Cas d'un Vernier décimal.

Soit "u" la ongueur de la plus petite subdivision de la règle : (par ex. u = 1 mm).

La longueur du Vernier est par construction : 9×u
La plus petite subdivision du Vernier décimal (dix subdivisions) est 0,9×u.


Nous allons supposer que le diamètre D à mesurer
compte un certain nombre entier K d'unités u, plus un certain nombre k de dixièmes de u.

D = Ku + k(u/10)



Je me propose de démontrer que lors d'un mesurage,
le trait n° k du Vernier (0<= k <=9)
coïncide avec un trait de la règle fixe.

Pour cela il suffira de montrer que la distance de ce trait k au zéro de la règle
est un nombre entier d'unités u.

Démonstration

Partant de la relation posée ci-dessus :
D = Ku + k(u/10)


Rappels :
  • u étant la graduation la plus fine de la règle fixe (le mm pour les Verniers décimaux)
  • K un entier qui représente la mesure par défaut de D en nombre entier d'unités u.
  • k est un entier qui représente le nombre de dixièmes de u complémentaires.
    0 <= k <= 9

Calculaons la distance Q de la kième graduation du Vernier au zéro de la règle fixe.

Q = D + distance du trait de graduation zéro du Vernier au kième trait de graduation de ce Vernier.
Q = D + k×0,9×u
(rappelons que les graduations du venier sont distantes de 0,9×u)

Q = [ Ku + k(u/10) ] + k×0,9×u = Ku + k(u/10 +0,9u) = Ku + ku(0,1+0,9= Ku + ku = (K+k)×u

Q = (K+k)×u

Q est un multiple entier de u

Donc la distance Q de la kième graduation du Vernier au zéro de la règle fixe
coïncide avec une graduation de cette dernière.


Traduisons :
Si la distance à mesurer compte un nombre entier K d'unités u plus un nombre k de dixièmes de u
le trait k du Vernier coïncide avec une graduation de la règle fixe.
C.Q.F.D.

2° Cas d'un Vernier gradué en pouces : inch(es)

Les pays anglosaxons l'industrie a largement adopté le système métrique décimal.
Mais il subsiste encore dans des productions et des métiers à forte tradition historique.
Tailes de vêtements, feuilles de papier, visserie, plomberie, calibres de munitions, etc.

On trouve donc en Europe des appareils gradués comportant le deux échelles en les deux types d'unités,
métrique et anglosaxon.

Dans le système anglais,
les instruments de mesure des longueurs sont gradués en "inch(es)"
(1 inch = 1" = 1 pouce anglais = 1 po = 2,54 cm = 25,4 mm)

Ces graduations sont généralement subdivisées en seizièmes de inch.
1/16 ième de "inch" = 0,0625 inch (1,5875 mm)
1/16 ième de "inch" abrégé = 0" 1/16

Le seizième de pouce, est la distance entre les plus sérrés des traits de graduation de la règle fixe.
Nommons u cette distance.



Le Vernier a pour longueur 7×u = 7×(1/16) inch = 7/16 inch = 11,1125 mm.

Il est lui-même subdivisé en 8 parties.
Longueur de chaque subdivision du Vernier anglais : (7×u)/8 = 7/(16×8) inch = 1,3890625 mm


La distance D mesurée est ici peut se mettre sous la forme :

D = Ku + k(u/8)


Si, cependant la longueur D à mesurer est un nombre entier de huitièmes de u ; u/8
(ici : u = 1/16ième de inch).
K nombre entier d'unités u que compte D
k le complément en huitièmes de cette unité u.
0 <= k <= 7

Calculons la distance Q du kième trait du Vernier (k=0 premier trait du Vernier à gauche)
au trait zéro de l'échelle fixe.

Q = D + k×(7×u)/8
Q = Ku + k(u/8) + k×(7×u)/8 = Ku + ku/8 (1+7) = Ku + ku = (K+k) u
C'est un multiple de u.
Le trait k du Vernier est exactement en face d'un trait de l'échelle fixe.
Or, k est le nombre de huitièmes de u
qui excèdent le nombre de graduations entières u dans la longueur mesurée.
C.Q.F.D

Le trait du Vernier qui se trouve juste en face d'une graduation fixe en inch
indique le nombre de huitièmes de seizième de inch
excédant le nombre entier de longueurs u contenu dans la longueur mesurée.

Soit, avec u = 1/16 inch ; (1/16)/8 inch = 0,198 437 5 mm
C'est la résolution atteinte grâce à ce type de Vernier sur des échelles de mesure en inch.
(environ 0,2 mm)
Cela paraît moins performant dans l'absolu que le vernier décimal (0,1 mm).
Incertitudes relatives maximales :
0,1 mm / 1 mm = 10%
en seizièmzes de inch (1/8)/1 = 12,5 %

3° Verniers étendus

Donc, si on veut apprécier le dixième de millimètre sur une règle dont la plus petite graduation est le mm
le Vernier doit avoir une longueur de 10-1= 9 mm et êmtre divisé en 10 parties.

Appelons u le 1/16° de inch.
Si on veut apprécier le 1/8° de u sur une règle dont la plus petite graduation est u
le Vernier doit avoir une longueur de 8-1 = 7u en être divisé en 8 parties.

Généralisation.

Soit maintenant u le plus petite graduation d'une règle.
Si je veux apprécier le la 1/p ième partie de u
le Vernier doit avoir une longueur de (p-1)u et être divisé en p parties.

Par exemple, imaginons un Vernier capable de déceler le 1/50 mm.
Longueur ? Divisé en combien de parties ? Réponse ici :


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