Instruments de mesure
Le Vernier

Calculaons la distance Q de la k^ième graduation du Vernier au zéro de la règle fixe.

Q = D + distance du trait de graduation zéro du Vernier au k^ième trait de graduation de ce Vernier.
Q = D + k×0,9×u
(rappelons que les graduations du venier sont distantes de 0,9×u)

Q = [ Ku + k(u/10) ] + k×0,9×u = Ku + k(u/10 +0,9u) = Ku + ku(0,1+0,9= Ku + ku = (K+k)×u

Q est un multiple entier de u

Donc la distance Q de la k^ième graduation du Vernier au zéro de la règle fixe
coïncide avec une graduation de cette dernière.


Traduisons :
Si la distance à mesurer compte un nombre entier K d'unités u plus un nombre k de dixièmes de u
le trait k du Vernier coïncide avec une graduation de la règle fixe.
C.Q.F.D.

2° Cas d'un Vernier gradué en pouces : inch(es)

Les pays anglosaxons l'industrie a largement adopté le système métrique décimal.
Mais il subsiste encore dans des productions et des métiers à forte tradition historique.
Tailes de vêtements, feuilles de papier, visserie, plomberie, calibres de munitions, etc.

On trouve donc en Europe des appareils gradués comportant le deux échelles en les deux types d'unités,
métrique et anglosaxon.

Dans le système anglais,
les instruments de mesure des longueurs sont gradués en "inch(es)"
(1 inch = 1" = 1 pouce anglais = 1 po = 2,54 cm = 25,4 mm)

Ces graduations sont généralement subdivisées en seizièmes de inch.
1/16 ième de "inch" = 0,0625 inch (1,5875 mm)
1/16 ième de "inch" abrégé = 0" ¹/₁₆

Le seizième de pouce, est la distance entre les plus sérrés des traits de graduation de la règle fixe.
Nommons u cette distance.



Le Vernier a pour longueur 7×u = 7×(1/16) inch = 7/16 inch = 11,1125 mm.

Il est lui-même subdivisé en 8 parties.
Longueur de chaque subdivision du Vernier anglais : (7×u)/8 = 7/(16×8) inch = 1,3890625 mm


La distance D mesurée est ici peut se mettre sous la forme :

Si, cependant la longueur D à mesurer est un nombre entier de huitièmes de u ; u/8
(ici : u = 1/16^ième de inch).
K nombre entier d'unités u que compte D
k le complément en huitièmes de cette unité u.
0 <= k <= 7

Calculons la distance Q du k^ième trait du Vernier (k=0 premier trait du Vernier à gauche)
au trait zéro de l'échelle fixe.

Q = D + k×(7×u)/8
Q = Ku + k(u/8) + k×(7×u)/8 = Ku + ku/8 (1+7) = Ku + ku = (K+k) u
C'est un multiple de u.
Le trait k du Vernier est exactement en face d'un trait de l'échelle fixe.
Or, k est le nombre de huitièmes de u
qui excèdent le nombre de graduations entières u dans la longueur mesurée.
C.Q.F.D

Le trait du Vernier qui se trouve juste en face d'une graduation fixe en inch
indique le nombre de huitièmes de seizième de inch
excédant le nombre entier de longueurs u contenu dans la longueur mesurée.

Soit, avec u = 1/16 inch ; (1/16)/8 inch = 0,198 437 5 mm
C'est la résolution atteinte grâce à ce type de Vernier sur des échelles de mesure en inch.
(environ 0,2 mm)
Cela paraît moins performant dans l'absolu que le vernier décimal (0,1 mm).
Incertitudes relatives maximales :
0,1 mm / 1 mm = 10%
en seizièmzes de inch (1/8)/1 = 12,5 %

3° Verniers étendus

Donc, si on veut apprécier le dixième de millimètre sur une règle dont la plus petite graduation est le mm
le Vernier doit avoir une longueur de 10-1= 9 mm et êmtre divisé en 10 parties.

Appelons u le 1/16° de inch.
Si on veut apprécier le 1/8° de u sur une règle dont la plus petite graduation est u
le Vernier doit avoir une longueur de 8-1 = 7u en être divisé en 8 parties.

Généralisation.

Soit maintenant u le plus petite graduation d'une règle.
Si je veux apprécier le la 1/p ième partie de u
le Vernier doit avoir une longueur de (p-1)u et être divisé en p parties.

Par exemple, imaginons un Vernier capable de déceler le 1/50 mm.
Longueur ? Divisé en combien de parties ? Réponse ici :