Puissance en courant alternatif sinusoïdal

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Sujets traités dans cette page	Lien local
Principaux résultats
DIPOLE RÉACTIF (cos <1) Le probleme du facteur de puissance.
Optimisation du transfert de puissance générateur-charge. ADAPTATION.
OPTIMISATION DU RENDEMENT.
Variations de la puissance instantanée autour de la puissance moyenne
La suite à bientôt...

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Sujet 1

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Sujets traités concernant :	Lien local

Conventions d'écriture pour les Tensions et Courants

*U ; I*	Tension, intensité, en courant continu.
*U ;I*	Amplitudes (valeurs maximales) en courant alternatif sinusoïdal.
u ;i	Tension, intensité instantanées en courant alternatif sinusoïdal u(t) = Ucos(t+_u) ; i(t) = Icos(t+_i)
*Ueff Ieff*	Tension, intensité efficaces en courant alternatif sinusoïdal
	Amplitudes complexes :

L'expression connue : P = U I
représente physiquement le rapport énergie/temps
seulement en courant continu constant.
Mais on étend sa validité
à p(t) u(t) i(t), variables en fonction du temps,
en considérant que ces valeurs restent pratiquement constantes
pendant des intervalels de temps infinitésimaux dt.

Le calcul intégral permet d'évaluer mathématiquement
la somme des énergies infinitésimales variables : dW= p(t)dt
échangées pendant tous ces intervalles infinitésimaux dt entre t₁ et t₂.

Trigonométrie de base

Rappel
Etant donné une tension et un courant,
alternatifs sinusoïdaux d'amplitudes : U_max et I_max.
( le plus souvent représentées par U et I )
On appelle tension efficace U_eff et intensité efficace I_eff
la tension continue et l'intensité continue
qui, appliquées à un élément purement résistif
le feraient dissiper la même puissance thermique
que le susdit courant sinusoïdal.
On montre que :

Partons des valeurs instantanées de u et de i :

N.B. : Si vous avez des problèmes pour passer de la Formule (1) à la Formule (2) ci-dessous :

Formules (1) & (2)
Evaluons la valeur moyenne de p(t) sur une période T

Le second terme, sinusoïdal de la formule (2) a une valeur moyenne nulle sur deux périodes (T/2).
La valeur moyenne de p(t) se réduit à l'intégrale du premier terme (constant) :

Vous avez dit "Vakeur Efficace" ?

Rappel
Deux nombres complexes
sont dits conjugués l'un de l'autre,
lorsqu'ils ont la même valeur réélle
mais des valeurs imaginaires opposées.

Ils ont donc même module,
mais des angles polaires opposés.

En particulier :

Inconvénient du facteur de puissance

Un nécessaire mais défavorable accroissement du courant
sur les lignes de transport d'énergie alimentant l'industrie.

Les usines comportent principalement des moteurs
lesquels, de par leurs bobinages, sont fortement inductifs.

A intensité égale, la puissance moyenne transportée,
est d'autant plus faible que le déphasage est grand.
P_moy = U_eff.I_eff.cos< U_eff.I_eff.

Pour une puissance transportée donnée, l'intensité en ligne
devra être supérieure à celle qui eût été nécessaire
pour alimenter des circuits purement résistifs
(chauffage et éclairage domestiques par exemple)
.
Cet accroissement grève le coût des lignes & équipements
alimentant l'industrie.
.
On peut :
- soit réduire le cos par des condensateurs
Pourquoi ?
- soit augmenter le tarif de distribution contractuellement
en fonction du déphasage constaté.

Pourquoi des condensateurs ?

Les installations industrielles, de par l'existence de moteurs puissants, sont fortement inductives.

Or, une inductance crée une avance de phase de u sur i
alors qu'un condensateur a tendance à avancer i sur u.

On ramène donc le cos à des valeurs plus faibles
moyennant des batteries de condensateurs
disposés au point d'entrée de la ligne,
généralement dans l'enclos des transformateurs.

Impédances élémentaires

Résistance R
U,I en phase
Dipôle Résistif

Inductance L
U en quadrature avance sur I
Déphasage de I à U positif.

Capacité C
I en quadrature avance sur U
Déphasage deI à U négatif

Combinaisons RLC
Déphasage > 0 Dipôle Inducif
Déphasage < 0 Dipôle capacitif

Calculons p(R) puis sa dérivée en fonction de R.
Les calculs seront ici valables en courant continu ou alternatift sinusoïdal
puisque R & r sont résistifs.

Pour R < r : dérivée positive : fonction croissante
Pour R > r : dérivée négative : fonction décroissante
Pour R = r : dérivée nulle : p est maximum.

Les réflexions du signal aux interfaces entre transmetteur-ligne-récepteur, perturbent souvent les transmissions.

Amplitude complexe
On s'inspire de la relation d'Euler :
pour définir l' AMPLITUDE COMPLEXE du vecteur :

V est l'amplitude réelle ; "phi" la phase.
L'amplitude complexe intègre à la fois l'amplitude et la phase réelles

Propriétés essentielles : Produit & dérivation :

Intérêt en électricité :
Dans les circuits maillés, on peut appliquer, en régime sinusoïdal,
les lois de Kirchhoff établies en continu,
à condition de remplacer les tensions & intensités
par leurs valeurs complexes.

Question
Il n'existe pas d'inductances ou de capacités
non résistives.
Quels phénomènes physiques
expliquent l'existence de ces résistances ?

Pour les inductances :
- La résistance de leurs enroulements.
- Les pertes par courants de Foucault dans leurs noyaux.

Pour les condensateurs :
- les pertes diéletriques

Valeur moyenne
du carré d'une fonction sinusoïdale.

Par définition, la moyenne d'une fonction f(t)
entre les valeurs t1 et t2 de la variable t est :

Si : f(t) = [A.cos(t+)]²

f(t) = A².cos²(t+)
f(t) = (A²/2) + (A²/2)cos(2t+2)

Le second terme est sinusoïdal de période T/2.
Théorème :
L'intégrale d'une fonction périodique
sur un nombre entier de périodes est nulle.
Subsiste donc la constante(A²/2)laquelle, intégrée sur l'intervalle T,
donnera : (A²/2T)
Résultat final : A²/2

Un réseau, un dipôle est dit passif
s'il ne contient pas de générateurs.

Résultats établis en électricité théorique.

Cliquer ici pour atteindre un formulaire
permettant de calculer rapidement
la puissance P ( en W )
en fonction de U ( en V ) et R ( en Ohm )
aux bornes d'un élément purement résistif R.

Electricité

Puissance en
courant alternatif sinusoïdal

Calculatrice ici :

Condensé des principaux thèmes explorés

*Puissance en courant continu*	P = U I
*Puissance en courant alternatif sinusoïdal.* La puissance qui correspond à la réalité physique Energie/Temps est la Puissance Moyenne (sur un nombre entier de périodes).Calcul Appelée le plus souvent Puissance Active C'est cette puissance que mesurent les Wattmètres en alternatif sinusoïdal. Ne pas confondre avec le produit U_effI_eff appelé Puissance Apparente.
Puissance complexe : *Définitions des Amplitudes Complexes ici :*
Puissance Active c'est la partie réelle de la puissance complexe.	U_eff.I_eff.cos
Puissance Réactive : partie imaginaire de la puissance complexe.	U_eff.I_eff.sin
*Unités :* Puissance active en Watt (W). Puissance apparente en Volt-Ampère (VA). La puissance réactive (voir plus bas) en Volt-Ampère-Réactif (VAR).
*Energie Électrique* (instantanée) *détenue par un condensateur C* sous une tension u
*Energie Magnétique* (instantanée) *détenue par une inductance L* parcourue par un courant i
*Energie Électrique* (moyenne) *détenue par un condensateur C* sous une tension sinusoïdale u
*Energie Magnétique* (moyenne) *détenue par une inductance L* parcourue par un courant sinusoïdal i
*Impédance d'un dipôle passif le plus général* contenant : résistances, inductances, condensateurs : R : terme *Résisitf* ou Résistance ; S : terme *Réactif* ou Réactance. S>0 : Inductif (prédominance inductive) *S<0 : Capacitif* (prédominance capacitive)
*Puissances Active & Réactive* (généralisation) (S peut être positif ou négatif)

Développements

Nous examinerons successivement divers problèmes peuvant apparaître dans le transfert de puissance
d'un DIPOLE ACTIF (Générateur) avec le DIPOLE qui constitue sa CHARGE dans lequel il débite.

*Cas*	Lien direct
*Dipôles réactifs* (cos <1) - Facteur de puissance -.
Optimisation du transfert de puissance entre générateur et charge. ADAPTATION.
Optimisation du rendement.
*Variations de la puissance instantanée autour de la puissance moyenne*
Généralisation

Conséquences, du déphasage U - I sur la puissance

La puissance moyenne, dite Puissance active
s'exprime par :

Calcul ici :
C'est cette puissance que mesurent les Wattmètres en alternatif sinusoïdal.

Ce cos est aussi appelé "Facteur de Puissance"
Il est oujours inférieur ou égal à 1

Expression bien connue !
Mais qui fait apparaître un inconvénient, bien connu, lui-aussi.
Il concerne les lignes de distribution d'énergie électrique.
Lequel

Optimisation du transfert de puissance - Adaptation -

D'abord en courant continu
ou
Pour un récepteur purement résistif.

Nous nous posons la question de savoir comment varie, en fonction de R,
la puissance p délivrée, par un générateur de résistance interne r,
à un récepteur constitué par une résistance R.

Schéma(1)

Intuitivement

Si R est faible devant r, l'intensité est proche de e/r mais la tension aux bornes de R est faible : p = u.i #0
Si R est forte devant R, la tension est proche de e mais l'intensité est faible : p = u.i #0.

Comme en toute chose, la vérité est au milieu.
La condition pour qu'un générateur délivre le plus de puissance à sa charge (résistive ici)
est que la résistance de la charge, R, soit égale à sa résistance interne : r.

R = r Transfert Maximum de Puissance

Encore faut-il le démontrer !

Dans ces conditions, on dit que
le générateur et la charge sont "adaptés" l'un à l'autre.

Attention !
En configuration d'adaptation, la résistance interne du générateur
dissipe autant de puissance que celle délivrée à la charge !
Et c'est la puissance maximale !
Cette configuration ne doit être retenue que pour de faibles puissances.
Nous verrons qu'elle convient parfaitement
pour le transfert de faibles signaux de haute fréquence
entre générateurs (antennes) - lignes de transmission - récepteurs HF.
...et ce n'est pas la seule raison !
(voir plus bas)

Optimisation du Rendement

Rendement

C'est le rapport de la puissance utile (appliquée à R) : Ri²
à la puissance totale (appliquée à R & r) : (R+r)i²

Il vaut 1 pour R infini ou r = 0
(disons R grand par rapport à r)
et 50% si R = r

Il y a donc lieu de bien distinguer deux points de vue :

Générateur	Condition pour R & r	Rendement
Délivre sa Puissance Maximale pour :	R = r Adapation	50%
Meilleur rendement	r petit devant R R grand devant r	Tend vers 1

Sur le plan applicatif

Chaînes d'amplification

En électronique, on souhaite généralement une bonne amplification de puissance.
En particulier le meilleur rendement à chaque étage d'amplification.
Ce qui porte à concaténer des quadripôles amplificateurs ayant :

forte résistance d'entrée
faible résistance de sortie

Transmission de signaux

Dans la transmission de signaux sur des lignes, on préfère transmettre un maximum de puissance.
La configuration qui convient est l' adaptation.
C'est celle qui, comme nous le verrons plus loin,
minimise les réflexions de signal ayant lieu aux interfaces générateur - ligne - récepteur.

Variations de la puissance instantanée autour de la puissance moyenne

Reprenant le calcul de la puissance instantanée :

Aide ?

Pour cos(2+) = 1 ou -1 :

p(t) varie symétriquement autour de la puissance moyenne.

Le minimum négatif implique que ( 2 fois par période T),
le générateur : tantôt fournit de l'énergie au dipôle récepteur
tantôt ce dernier en restitue une partie au générateur.

Ces restitutions posent problème dans certains cas.
En particulier des réflexions perturbatrices sur les lignes de transmissions de signaux.

Schéma de transmission de signal entre une antenne UHF et un téléviseur à travers une ligne de transmission.
En cas d'inadaptation des impédances du générateur "antenne", du câble et de l'étage d'entrée du téléviseur,
les réflexions aux interfaces créent un régime d'ondes stationnaires dans le câble, perturbant grandement la transmission.
Voir aussi :

Généralisation

Amplitudes complexes
Définitions résumées ici :

*Rappels*
Définition de la Puissance Complexe :
La partie réelle de la puissance complexe n' est autre que la puissance moyenne (dite puissance active).

Quelles sont les conditions de transfert de puissance
dans le cas de récepteurs passifs dont les impédances internes ne sont pas purement résistives ?

On démontre que :
L'impédance d'un dipôle, intérieurement constitué par un réseau passif
comprenant des résistances, condensateurs, inductances
peut s'écrire :

R est toujours positif ou nul
S positif dipôle inductif
S négatif dipôle capacitif
S = 0 dipôle résistif (& R>0)

Un dipôle inductif peut contenir aussi des capacités.
Un dipôle capacitif peut contenir aussi des inductances.
Un dipôle peut être résistif, même sans contenir des résistances. Pourquoi ?

Pour la suite...il faut attendre un peu...

TiCALCUL DE LA PUISSANCE (P=V×A)
CONSOMMÉE PAR UN DIPÖLE PUREMENT RÉSISTIFtre

La calculatrice ci-dessous accepte les entrées :

V : tension aux bornes du dipôle (en Volt)
I : intensité parcourant le dipôle (en Ampère)

Les procédures de calcul propres au langage HTML suivent les règles américaines :
c.à.d. : la virgule des nombres écrits en notation décimale doit être remplacée par un point.
Ainsi, le nombre 3,45 sera entré sous la forme : 3.45
Le résultat affiché dans la troisième fenêtre suit évidemment la même règle.

Vous povez, évidemment, entrer d'autres nombres pour la tensiob V et l'intensité I.

FenV
TENSION (V)

FenI
INTENSITÉ (A)

FenP
PUISSANCE (VA ou W)

Orientation

Sommaire

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ModemploiNotes("true");Courriel(true);