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Variation de la gravitation
en fonction de la distance

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1° Gravitation au voisinage d'une planète

Il s'agit de calculer l'accélération g (m.s-2) provoquée par l'attraction universelle
qu'une planète exerce sur tout coprs de masse m situé à une certaine distance d'elle.
Cette distance, nous souhaitons l'évaluer par l'altitude h à laquelle se trouve la masse m
par rapport à la planète génératrice de l'attraction.

Si R est le rayon de la planète supposée sphérique (approximation)
cette distance est : R+h

Le poids P d'un objet au voisinnage d'une planète
n'est autre que la force d'attraction qu'exerce la planète sur ce corps


Appliquons la loi d'attraction universelle de Newton apparaissant sur la fig. ci-dessus,.
En remplaçant les valeurs de la relation de la fig. ci-dessus
par les données de notre poblème :

Valeur
Signification
Remplacée par
f
Force d'attraction
P
m
masse de la planète attractive
M
m '
masse de l'objet attiré
m
d
fistance des centres
(R+h)

G est la constante gravitationnelle : G = 6,67384.1011 (Unités SI : N.m2.kg-2 )

Ce qui donne la relation :



Pour aboutir à la forme : P = m× g , nous posons : g = G×M / (R+h)2

g(h) est la gravité (accélération) provoquée par la planète à une hauteur h a-desus de sa surface.

Revenons sur Terre
Cte universelle de gravitation : G = 6,67384.10-11 SI
Masse terrestre M = 5,972.1024 kg
Rayon terrestre R = 6371.103 m

Calculs :
G×M = 6,67384.10-11×5,972×1024 = 39,85603317617248×1013

g (h) = ( 39,85603317617248×1013) / (6371.103 - h)2

D'où le tracé de la courbe à l'aide des grapheurs étudiés dans ce même site :



g (accélération gravitationnelle) en fonction de l'altitude (h) au-dessus de la Terre.
"h" : en abscisses : 0 < h < 11 000 000 km (graduation en x : 106 m = 1000 km)
"g" : en ordonnées : 0 < g < 10 (en m/s2) (graduation en y : 1)

Pour les programmeurs : Codage du calcul

Valeurs terrestres
Fonction g(h) initiale : g (h) = (39,85603317617248×1013) / (6371.103 - h)2

Codage du calcul

  1. Remplacer h par x
    g (x) = (39,85603317617248×1013) / (6371.103 - x )2
    (Attention à la virgule qui devient un point dans le codage anglo-saxon)

  2. Codage:
    39.85603317617248*pow(10,13) / pow(6371000+x,2)

Ce codage permet de tracer la courbeprécédente à l'aide des grapheurs intégrés dans ce su=ite
et dont la programmation est expliquée dans le cours de JavaScript
. Voir ici :

Calculatrice dédiée
(Entrez les nombres en notation anglo-saxone : 5.972   = 5,972 .Virgule et point sont inversés)
Rayon de la planète
(en km)
Masse de la Planete
(en 1024 kg)
Altitude
(en km)
Accélération
(en m.s-2)



Fonction tracée : g = P/M = GM / (R+h)2

Constante universelle : G = 6,67384.10-11) Unités SI (N.m2.kg-2)
Paramètres terrestres
R = : 6 371 km = 6371000 m
M = Masse : 5.972 × 1024 kg

 

Allons sur la Lune !

Paramètres lunaires

Rayon R = 1736 km;
Masse M = 7,3477×1022 kg (0,0123×Terre) ;  M = 0.073477×1024
(Notation anglo-saxonne).
Distance Lune-Terre : Périgée : 356700 km < h < 406300 km = Apogée

Calculer à l'aide de la calcultrice dédiée précédente

1° La gravité lunaire de surface :
   1,6271506538151161 m.s-2

2° La gravité lunaire sur Terre au périgée : 356 700 km :
   0,000038168400662389 # 4/10000 m.s-2

3° La gravité lunaire sur Terre à l'apogée : 406 300 km :
   0,00002945304790161051 # 3/10 0000 m.s-2

4° Le rapport du poids du même objet sur la Lune et sur Terre
   1,6271506538151161 / 9,81 = 0,1658 # 1/6 (le 1/6 de la gravité terrestre)

Réponse ici :

Gravité de surface

C'est la valeur de g au voisinnage immédiat de la plaète attractive.
Il suffit de faire h=0 dans la formule précédente.



g se nomme "Gravité de Surface" de la planète.
C'est une grandeur analogue à une accélération, rappel :
g se mesure donc, comme une accélération, en m/s/s ou m.s-2

Application à nôtre planète : la Terre

G = 6,67384.1011 (Unités SI : N.m2.kg-2 )
Rayon terrestre : R = 6391 km
Masse de la Terre : M = 5,972.1024 kg
G = 6,67384.1011 (Unités SI : N.m2.kg-2 )

Résultat brut de la calculatrice : 9,8192966229979713296799052743531

Valeur retenue officiellement : g = 9,806 65 m/s2

Pour un usage courant sans recherche de grande précision :
g = 9,81 m/s2


 

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