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Décibels
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Par définition,

Si la puissance d'un signal passe de la valeur P1 à la valeur P2,
la mesure S en décibels de ce signal passe de S1 à S2 tels que :

S2 - S1 = 10×log(P2/P1)

Exemple :
Si la puissance double : P2 = 2×P1 S2-S1 = 10×log(2) ~ 10×0,30 = 3 dB
dB : abréviation de décibels

Si la puissance double, la mesure en décibels augmente de +3 dB

Si elle est divisée par deux la mesure en décibels diminue de 3 dB
Car : log(1/2)= -log(2) ~ -0,3 (c.f. cours de math.sur logarithmes ici : )

Ce qui suit explique le pourquoi de cette définition.
Vous pouvez sauter cette explication en cliquant ici : .



Pourquoi évaluer certaines grandeurs en déciBels ?

C'est un fait d'expérience ...
nos sensations physiques " varient peu "
lorsque la grandeur provoquant la stimulation " varie beaucoup ".

Fait surprenant mais vérifiable : lorsque nous doublons la puissance d'un appareil générateur de son, c'est à peine si nous nous apercevons à l'oreille de l'augmentation du volume sonore !

Jugez vous-même :
voici deux sons successifs jouant la même note,
générés par un logiciel qui permet d'ajuster très précisément la puissance des sons produits.

J'ai fait en sorte que la puissance du deuxième son soit exactement la moitié de celle du premier.
Activez le son sur votre ordinateur et double-cliquer sur l'image ci-dessous.
Attention ! Il faut tendre l'oreille pour entendre la différence !

Etonnant, non ?
Faites passer la séquence en boucle : c'est encore plus remarquable.

Dans le domaine de de la vision, une expérience révèle la faible variation de notre sensibilité visuelle par rapport à la variation de puissance. Elle peut se réaliser très simplement : mettre l'une près de l'autre deux ampoules de même puissance (mettons 75 W) pour éclairer une pièce.
Observez (sans regarder les ampoules) les écarts d'éclairement de la pièce quand on les allume simultanément ou successivement.La différence est beaucoup moins importante qu'on n'aurait pu le penser.

Une expérience plus précise : relier un haut parleur aux bornes de sortie d'un générateur d'audiofréquences réglé sur un son audible (400 Hz par exemple) et fournissant une tension convenable pour une écoute confortable.

Un voltmètre branché aux bornes du haut parleur permettra d'évaluer la puissance èlectique appliquée : P.
En effet : P = U2/R. Donc, pour doubler la puissance P il suffira de multiplier U par racine carrée de 2 (1,4 env.)r
L'expérience montre que ce doublement de puissance est à peine perceptible.


Apparemment, une fortre augmentation de puissance
n'entraîne qu'une faible augmentation de la sensation d'intensité sonore ou lumineuse.

Ce phénomène se produit chaque fois qu'un signal physique est perçu par un organe biologique.
Son - Lumière - Chaleur - etc...

Il est, voir plus bas, la conséquence de l'auto adaptation de ces organes
qui augmentent leur sensibilité si les signaux sont faibles
ou la diminuent s'ils sont forts.

Un peu d'histoire...

Ce sont les téléphonistes qui ont perçu les premiers les difficultés que leur créait ce phénomène.
Comment, par exemple, expliquer à un abonné qu'on lui a doublé la puissance du son téléphonique émis, alors qu'il en perçoit à peine l'augmentation ?
Il s'agissait des installations téléphoniques au standard POTS ( Plain Old Telephone Service) voir ici :
qui ont perduré jusqu'aux années 1980,remplacé par les diverses techniques de la téléphonie numérique.

Toutes les techniques de traitement des signaux dont le récepteur final est un organe des sens (son, lumière, etc.) doivent pouvoir exprimer l'efficacité sensible du signal final par une fonction qui, comme les sensations, varie peu quand la variable varie beaucooup.

Tous les types de logarithmes répondent ce critère, en particulier le logarithme décimal  log x :

Variable x 1 10 100 1000 10 000 100 000 etc
log x 0 1 2 3 4 5  

L'échelle logarithmique permet d'évaluer des variations de la puissance P d'un signal
de manière proche de la réalité éprouvée par un organe sensitif.

P 1 10 100 1000 10 000 100 000 etc
log P 0 1 2 3 4 5  

Cependant...
Il y a bien d'autres fonctions mathématiques qui varient peu lorsque la variable varie beaucoup.
Alors, pourquoi la fonction logarithmique ?

Si la réponse vous intéresse, cliquez l'image ci-contre :
Nous verrons plus loin que la non-linéarité de la réponse d'un organe des sens
est dûe à ses facultés d'auto-adaptation à la puissance reçue.
Et nous démonttrerons que l'échelle logarithmique découle tout naturellement de cet effet auto-adaptatif.

Note: La fonction logarithmique n'est pas seulement définie pour les seules valeurs des tableaux ci-dessus.
Vous pouvez, évaluer à la calculatrice le logarithme de toute valeur intermédiaire positive.
Par exemple log(107,89) = 2,032 ... etc....

L'échelle logarihmique est utilisée

  • Comme une autre évaluation de la variation de puissance d'un signal : log(P2/P1)
    Dans cette formule, P1 et P2 sont les puissances initiale et finale d'un signal.

  • Comme une autre évaluation de la puissance d'un signal par la fonction : log(P/P0)
    Dans cette formule, P est la puissance du signal et P0 une puissance de référence.
    Par exemple, pour le son, c'est la la puissance minimale audible à une certaine fréquence de référence.
    P0 = 10-12 W/m2.

Variations de puissance

Nommons " s " cette nouvelle fonction d'évaluation : s = log P ; s1 = log P1 ; s2 = log P2

Si la puissance d'un signal passe de P1 à P2.
Sanchant que (cours de math.) : log P2/P1 = log P2 - log P1 = s2 - s1

Relation fondamentale
s2 - s1 = log P2/P1


Exemples

Si, par exemple, P2 = P1 alors s2 - s1 = log 1 = 0 ; s2 = s1 : normal.

Si P2 > P1 => P2/P1 >1 => log P2/P1 > 0 et s2 > s1
Une augmentation de puissance provoque bien une augmentation de la fonction s

Si P2 < P1 => P2/P1 < 1 => log P2/P1 < 0 et s2 < s1
Une diminution de puissance provoque bien une diminution de la fonction s.

Bels et déciBels (dB)

Le différence s2 - s1 de la fonction s consécutive à des variations de puissance
se mesure en Bels.

Ecart en Bel
s2 - s1 =        log(P2/P1)
En déciBel (dB)
s2 - s1 = 10×log(P2/P1)

Le logarithme décimal de x s'écrit log10(x) ou log(x)

Notez bien qu'il s'agit de rapports de puissances.

Quelques cas particuliers :

P2 / P1
2
0,5
10
100
1000
10 000
10 log (P2 / P1)
3 dB
-3 dB
10 dB
20 dB
30 dB
40 dB


Note :
A la calculatrice : log(2) = 0,30102999566398119521373889472449
Pour des évaluations en dB approximatives on retiendra : log 2 = 0,3 et 10×log 2 = 3

Retenons au moins :

+3dB correspond (approximativement) à un doublement de la puissance.
-3dB correspond à une perte de la moitié de la puissance.


 Exercices :
Vous obtiendrez les réponses en passant le pointeur sur les icônes ci-dessous.
Mais réfléchissez bien avant....

  1. La puissance d'un signal passe de 2 mW W à 0,5 W.
    Evaluer cette variation en dB.

  2. La puissance d'un signal passe de 0,5 W à 2 mW .
    Evaluer cette variation en dB.

  3. Un avion émet 120 dB au décollage, combien de dB émettent deux avions identiques décollant ensemble.

  4. On augmmente de 10 dB un signal d'une puissance de 3W.
    Quelle est la puissance finale?

  5. Problème fréquent : on connaît P1 et l'écart (S2-S1) en décibels, calculer P2.
    1. Etablir la formule : P2 = fonction de P1 et (S2-S1)
    2. Application : Quelle est la puissance d'un signal de 3 W auquel on fait subir une atténuation de 15 dB ?

Voir une autre mesure de type logarithmique
parfois préférée aux décibels : les Népers ici :


Décibels et adaptabilité

Loin d'être un handicap, cette non-linéarité de la sensation vis-à-vis de la puisssance sonore est dûe à l'adaptabilité des organes sensoriels.
Ceux-ci réagissent en augmentant spontanément leur sensibilité pour les faibles puissances.
C'est ainsi qu'une petite variation de puissance dP sera décelable dans un quasi-silence (un réflexe d'auto-protection dû à l'évolution des espèces ?),
alors qu'il faudra une forte variation dP de puissance dans un brouhaha pour distinguer ce que votre voisin vous hurle à l'oreille)

Le résultat est un élargissement considérable de la gamme de puissance qu'une oreille, par exemple, peut entendre (pour un son de1 kHz par exemple),
de 10-12 Watt/m2 pour les sons les plus faibles jusqu'à 1012 fois cette puissance ! (seuil dit de douleur : grand risque de destruction de l'organe auditif).

En comparant cet organe à un dispositif de mesure non adaptatif, imaginez une balance capable de mesurer avec autant de précision des milligrammes (10-6 kg) de médicaments
et des et des trains de mille tonnes ? (même rapport de 1012)

Merveilleuse Nature...

Pour plus d'informations sur le rapport entre l'adaptabilité et la mesure en décibels, (facultatif) cliquer ici :

Réglementation :

Additivité des dB

 

Que se passe-t-il lorsque deux variations de puissance se succèdent ?
La puissance passant de la valeur P1 à la valeur P2 puis à P3.

Si la première variation correspond à " a dB " et la seconde à " b dB ",la variation totale sera de " ( a + b ) dB ".

En effet :

Exemple : lorsque la puissance commence par quadrupler :
P2/P1 = 4 (+6 dB) ;
puis qu'elle est réduite de moitié P3/P4 = 0,5 (-3 dB)

Alors : P3/P4 = 4 . 0.5 = 2

On a bien +6 dB +(- 3 dB) = +3 dB


Décibels et tensions - décibels et puissances

 

Décibels, tensions, puissances

Dans le domaine de l'électricité on dispose rarement de Wattmètres et seuls les Voltmètres permettent de faire commodément des mesures de puissance.

La puissance P développée sur un élément résistif R par application d'une tension U à ses bornes est :

et I étant l'intensité dans R :

Dès lors, si deux tensions U1 et U2 sinusoïdales sont successivement appliquées aux bornes d'un haut-parleur d'impédance résistive R, la variation de sensation sonore de l'une à l'autre des expériences sera, en décibels :

RETENIR
dB
dans un rapport de
PUISSANCES
dB
dans un rapport de
TENSIONS
dB
dans un rapport d'
INTENSITÉS

ATTENTION !
Les formules sont applicables seulement lorsque puissances tennsions et intensités
s'appliquent à la même impédance R

Népers



Les Népers constituent un autre moyen d'évaluer les rapports de grandeurs physiques

Les formules définissant les Népers sont analogues à celles qui définissent les décibels.
La différence est la base de logarithmes utilisés.
Les Népers sont définis à partir de logarithmes népériens (base e)
Symbole : ln x = logarithme népérien de x

En Bels : // En Népers :

Comment passer des Bels aux Nepers et inversement ?

D'après la formule générale de changement de base des logarithmes.:

loga(x) = logb(x) × loga(b)

Démonstration ici :

En remplaçant la base a par e (base des log. Nép.)
et la base b par 10 (base des log. déc.)

loge(x) = log10(x) × loge(10)
écrite autrement ( ln = log. Népérien. et log = log Décimal.)

ln(x) = log(x) × ln(10)
Ou, ce qui revient au même
log(x) = ln(x)/ln(10)

Avec : ln(10) = 2.302585092994046
ln(x) ~ 2,3.log(x)
~ signifie ici "approximativement"

La formule démontrée :

peut aussi s'écrire : S2-S1 = ln(10)×log(P2/P1)

Avec :

(S2-S1)Népers = ln(10) × (s2-s1)Bell
(S2-S1)Népers ~ 2,3×(s2-s1)Bell

Il y a bien concordance entre les deux formulations (Nepers et Bells)
Notre formule première avec des logarithmes décimaux est donc bien justifiée.

1 Bel ~ 2,3 Neper
1 Neper ~ 0,43 Bel
~ signifie ici "approximativement"

Calculs locaux par JavaScript :


Bande passante à -3 dB

La figure ci-dessous montre schématiquement le comportement d'un filtre ou d'une ligne de transmission vis à vis du transfert entrée-sortie de tension Us/Ue

 

La bande passante à -3dB est l'intervalle de fréquences pour lesquelles le transfert en puissance est supérieur à 50%. On appelle aussi bande passante à demi-puissance.

Noter également la définition de la pente d'atténuation mesurée tantôt en dB/Octave ou parfois en dB/Décade.

Une octave correspond à un intervalle de doublement de la fréquence, une décade au décuplement de celle-ci.

Pourquoi une telle définition de la Bande Passante ? Cliquez ici pour la réponse :
 

Le décibel comme repère d'une grandeur

Jusqu'ici, les décibels on servi à mesurer des variations d'une grandeur.

Ils peuvent servir à repérer le niveau d'une grandeur physique par rapport à un repère appelé 0 dB et choisi par pure convention.

 

En téléphonie
Il est convenu que le 0 dB correspond à un signal sinusoïdal
transférant une puissance de 1 mW
à une résistance de 600 Ohm (impédance d'un appareil téléphonique normalisé)
à une fréquence de 800 Hz.


Le décibel comme repère d'un bruit

 

Bruit en dB :

La puissance sonore (en mW) qui correspond à 0 dB résulte d'une convention internationale.
C'est la puissance considérée comme minima de perception par un échantillon moyen de population.

Cette définition est très arbitraire et dépend à la fois des conditions de vie des personnes (campagne calme ou ville bruyante) et du type de bruit considéré (stridences, bruit sourd des autos, pétarades etc.).

Si bien que l'on dispose de diverses normes légales pour définir avec précision et sans contestation possible à la fois le 0 dB et les conditions de mesure des bruits dans chaque catégorie d'application : normes A, B, C etc.

Se reporter aux texte officiels.

 


Le décibel comme repérage d'efficacité d'un dispositif

 

 

Antennes

Pour finir notre rapide tour d'horizon, nous citons une application d'un autre type : la mesure de l'efficacité d'un dispositif.

Une antenne (de télévision, par exemple) ne comporte primitivement aucun dispositif d'amplification.
Cependant, certains modèles peuvent fournir des tensions de capture des émetteurs plus ou moins élevée suivant sa géométrie particulière (nombre & forme des éléments).

On définit une antenne 0dB de géométrie simple et facilement reproductible (segment de conducteur rectiligne dont les dimensions sont précisées) que l'on branche sur l'impédance caractéristique (75 Ohm en France).

Cette antenne fournit une tension mesurable en on peut la comparer, en un même lieu, à tout autre type d'antenne utilisée dans les mêmes conditions.

Comme l'appareil est destiné en fin de chaîne à la perception audiovisuelle humaine, la comparaison ne se fait ni en rapports de tension, ni en rapports de puissance mais en dB.

Efficacité en dB = 20 log( UAntenneTestée/ UAntenneNormalisée 0 dB)

 



Calculette en dB
Puissance du signal P1 P2
P1

P1_
P2

P2_
dB =10 log(P2/P1)

dB_

Plusieurs manières de s'en servir :

  • Entrer P1 et P2 puis cliquer sur le 3° bouton
  • Entrer P1 et le nb de dB puis cliquer sur le 2° bouton
  • Entrer P2 et le nb de dB puis cliquer sur le 1° bouton

    Sous les fenêtres, les noms qui les désignent dans le programme JavaScript animant cette application.
Note : les calculs sont faits avec toute la précision de l'interpréteur lié à l'explorateur utilisé.
Ne pas s'étonner que P1=1 et P2=2 --> 3.0102999566398116 dB et non 3 dB comme annoncé plus haut.
C'est le nombre 3dB avancé dans l'exposé qui est approximatif.
Lorsque les évaluations en déciBels sont souvent données à titre approximatif,
dans ce cas, elles ne méritent pas d'être retenues avec une grande précision.
Amplitude du signal A1 A2

A1

A1_
A2

A2_
20 log(A2/A1)

dBA_
Affichages spéciaux
NAN = "Not A Number" : Nombre entré incorrect.
infinity : Vraisemblablement, vos données d'entrée ont provoqué une division par zéro.

Des informations sur les calculs et le programme animant ces calculettes
en cliquant ici :



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Les décibels présentation complète


Les décibels : Cours simplifié avec apport du minimum mathématique
Les décibels : Cours de base pour néophytes.
Les logarithmes : cours de base sur les logarithmes et applications


Exercices :

Les réponses peuvent être obtenues en passant le curseur de souris sur les images :
Ou en cliquant sur le lien de la colonne de droite.
Il va de votre intérêt de ne pas se contenter de regarder les réponses...
Enoncés
Solutions
par Note
survolée
Solutions
par lien

Calculer la tension du signal0 dB conventionnel.
Solution

Calculer la tension d'un signal à + 3 dB, à - 3 dB, à - 5 dB.
Solution

Calculer le niveau en dB d'un signal de 4 V.
Solution

Un signal subit deux variations successives : 3 dB puis - 6 dB. Résultat ?
Solution

Le niveau minimum d'un signal téléphonique est - 60 dB, à quelle tension correspond-il ?
Solution

Le niveau acceptable d'un signal téléphonique est - 35 dB
à quelle puissance correspond-t-il dans les conditions normales d'utilisation de la ligne ? ?
Solution


Un amplificateur est réputé avoir un gain de G = 20 dB.
La puissance du signal d'entrée est P1 = 600 mW,
Quelle est la puissance de sortie P2 ?

Solution


Mêmes éléments qu'à la question précédente, mais avec gain de 16 dB.

Solution

 

 

 

 

Solution de l'exercice 1

La puissance électrique tranférée à une résistance R par un signal de tension U
est : P = (U*U)/R.
Avec R = 600 Ohm et P = 1 mW, on obtient U # 0,775 V

Les anciens voltmètres à aiguilles comportaient une échelle en dBV à l'intention des transmetteurs téléphonistes.



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Solution de l'exercice 2

Il faut être capable de raisonner de plusieurs manières :

  1. Pour -5 dB, l'énoncé peut se traduire par : 20.log(U1/U0) = - 5
    soit : log(U1/U0) = - 0,25 ; soit : U1/U0 = 10 puissance (- 0,25) = 0,56
    en prenant U0 = 0,775 V (0 dB) on obtient : U1 = 0,434 V
  2. On sait que pour +3 dB la tension est multipliée par racine de 2, soit 1,414
    0,775 . 1,414 =     1,096 V
  3. Pour -3 db la tension est divisée par racine de 2 : 0,775/1,414 = 0,548 V

Retour à l'énoncé

 

Solution d'exercice 3

x = 20 log(4/0.775) = 14,25 dB

Retour à l'énoncé

Solution d'exercice 4

x dB = +3 dB - 6 dB = - 3 dB

Le signal perd la moitié de sa puissance.

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Solution d'exercice 5

20 log(U / 0.775) = - 60 dB

log(U / 0,775) = - 3

U / 0.775 = 10 - 3

U = 0.775 mV

 

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Solution d'exercice 6

Les "conditions normales d'utilisation de la ligne téléphonique" impliquent que le signal s'applique à une résistance de 600 Ohm
Le signal de référence 0 dB correspond à 1 mW.

- 35 = 10 log(P/0.001)
soit : log(P/0.001) = - 3,5
soit : P = 0.001 . inv log (- 3,5) = 0.001x(0,3162x10-6)
soit : P = 0,316 microWatt

ou (ce n'était pas demandé), en Volts :
comme P = (U.U) / R
U = RacCarrée(R.P) = RacCarrée(600 . 0,316 x10-6)
U = 0,0137 V = 13,7 mV

 


(inv log : touches d' une calculatrice pour obtenir l'exponentielle en base 10 - inverse du log décimal en somme).

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Solution d'exercice 7

On applique la relation établie dans le cours ci-dessus


( Observez que la puissance 600 mW a été convertie en Watt : 600 mW = 0,6 W
et que 20 dB = 2 Bell)

On sait que les deux formules ci-dessous sont équivalentes (cours de math) :

Appliquons :

Solution P2 = 60 W

-o-o-o-

Quelques explications supplémentaires ...

Rappel : la fonction RÉCIPROQUE de la fonction logarithme décimal ("log" est le logarithme décimal)
est la fonction exponnentielle à base 10, ce qui s'exprime par :
y = log(x) <=> x = 10y

b = log a <=> 10b = 10.log a

Mais : 10log(a) = a ; donc : 10b= a

 

On a en fait élevé "10" à la puissance "b" puis le même "10" à la puissance "log a",
donc à la même valeur.

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Solution d'exercice 8

Le problème ici, est qu'en faisant les mêmes calculs, on aboutit à :

P2 = 0.6 . 101,6

Et comment calculer 101,6 ?

Avé la calculatrice pardi !

Lancez la calculatrice de windows : [Demarrer] [Programmes] [Accessoires] [Calculatrice]

Choisissez [Affichage] [Scientifique]

Tapez "10"
Tapez la touche "x^y"
Tapez "1,6"
Tapez la touche égal "="

Vous obtenez : 39,810 etc...

Qu'on s'empresse, séance tenante, de multiplier par 0,6
et on obtient :

23,88 W

-o-o-o

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