Valeur efficace
d'un signal analogique

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Définition de base

On appelle valeur efficace d'un signal périodique quantifié par la fonction f(t)
la valeur d'un signal continu de même type qui aurait, pendant le même temps d'application,
le même effet thermique sur une même résistance.

Un exemple :
J'applique la tension périodique u ( t ) pendant n périodes à une résistance R
J'applique une tension continue U pendant le même temps à la même résistance R.
Si la quantité d'énergie thermique dégagée dans les deux expériences est la même,
je peux dire que U est la valeur efficace du signal u ( t ).

Cette définition correspond typiquement à un problème d'électricite.
Il faut savoir que la puissance délivrée par une tension électrique continue U appliquée à une résistance R
est : P = U2/R
L'énergie apportée par le courant pendant ce même temps t est donc : P t


Si nous considérons maintenant une tension variable u(t)
appliquée à la résistance R pendant un temps infinitésimal dt,
l'énergie apportée par le courant est :

de = 1/R u2(t).dt

En intégrant cette valeur sur une période,
nous obtenons l'énergie
EtàT+t apportée à la résistance R sur une période:
EtàT+t = Intégrale de [t] à [t+T] de { u2(t)/R dt }
ou
EtàT+t = 1/R Intégrale de [t] à [t+T] de { u2(t)dt }

Par définition même de Ueff, cette énergie
EtàT+t sur une période est aussi
égale à la
puissance Ueff2/R multipliée par le temps d'une période T
EtàT+t = T.Ueff2/R

Donc (les R s'éliminent) :

Ueff2 = 1/T Intégrale de [t] à [t+T] de { u2(t)dt }

Nous pourrions faire le même calcul avec l'intensité efficace : P = R I2
et on obtiendrait :


Ieff2 = 1/T Intégrale de [t] à [t+T] de { i2(t)dt }

Par extension, on peut définir abstraitement la valeur efficace d'un signal variable s(t) par :



Mais avant d'appliquer cette formule à tout autre chose qu'une tension ou un courant életrique
dans les conditions précisées ci-dessus, il vaut mieux réfléchir ...

Notons que la seule condition pour établir la formule ci-dessus est que le signal soit périodique.
Pas forcément sinusoïdal !

Notons également que les voltmètre et ampèremètres dits RMS
(Root Mean Square - Racine carrée moyenne ou plutôt moyenne de la racine carrée...)
mesurent effectivement les valeurs efficaces de n'importe quel signal périodique.

Mais que les appareils anciens à aiguille, sauf rares exceptions,
ne mesureaient exactement cette valeur efficace que pour les signaux sinusoïdaux.


Signaux sinusoïdaux

 



Comme l'intégrale d'une fonction sinusoïdale sur un nombre entier de périodes est nulle
nous éliminons la seconde intégrale

Le résultat est bien connu

Pour signaux sinusoïdaux seulement !



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