Valeur moyenne

d'un signal analogique

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Qu'entend-t-on par "Valeur moyenne d'un signal" ?
Il y a plusieurs manières de répondre à cette question suivant le public auquel on s'adresse.

D'abord la manière "savante"

On appelle "valeur moyenne d'un signal analogique f(t) entre les temps t1 et t2
la quantité suivante :

Cela suppose que vous connaissez les mathématiques, ce qui est indispensable à partir d'un certain niveau.

Dans ce cas vous n'avez plus qu'à calculer l'intégrale précédente en remplaçant f(t)
par la fonction dont vous voulez calculer la moyenne.

Une fois les équations ainsi posées vous entrez dans le domaine des maths,
jusqu'à l'obtention du ou des résultats terminaux où vous redevenez physicien pour les interpréter.

La physique n'intervient que dans les deux phases extrêmes :

  1. La mise du problème en équations
  2. L'interprétation des résultats

Le physicien, l'ingénieur, doivent connaître ce que l'on fait exactement quand on applique la formule ci-dessus,
et dans quels cas il faut l'appliquer... ou ne pas l'appliquer

Voyons maintenant des approches pragmatiques
très, très, très élémentaires ...

Je vais expliquer ce qu'en physique on entend par "valeur moyenne" d'une grandeur variable
en prenant deux exemples :

  1. une vitesse moyenne
  2. un avoir bancaire moyen

Ensuite je vais montrer comment ces problèmes peuvent être résolus
par la méthode mathématique impliquant une intégrale du type précédent.


Le but est de justifier l'immense importance du calcul intégral en physique.

Ceux qui savent tout cela peuvent passer à la suite :

----

En physique nous parlons de réalités alors quel est notre problème ?

Commençons par un exemple banal.
Un automobiliste roule pendant une heure sur autoroute à 110 km/h,
puis 10 minutes à 30 km/h sur une section de travaux,
puis 50 minutes à 90 km/h sur une route nationale.

Comme vous vous y attendiez, il veut calculer sa "moyenne"
Entendons : sa "vitesse moyenne" sur l'ensemble des trois tronçons.

Calcul élémentaire connu :

  • premier tronçon : 110 km/h x 1 h = 110 km
  • deuxième tronçon : 90 km/h x 10/60 h = 15 km
  • troisième tronçon : 90 km/h x 50/60 h = 75 km110+15+75 = 190 km.

Durée totale : 2 h ;
Moyenne : 190/2 = 95 km/h

Bon, tout çà c'est encore des mathématiques parceque, finalement, j'ai appliqué la formule
que nous connaissons tous depuis notre bonne vieille école primaire :
on additionne les kilomètres parcourus et on divise par le temps à parcourir l'ensemble.

Tout le monde sait cela,
mais tout le monde n'a pas forcément compris le lien avec la formule impliquant l'intégrale,

Alors nous allons essayer de comprendre.

Il faut d'abord préciser notre démarche :

Unepremière étape est d'énoncer une règle générale.
J'entends par là dire, en une phrase, ce qu'est, pour le physicien, la "valeur moyenne d'une vitesse"
qui englobera tous les cas particuliers.

Définition
La valeur moyenne de la vitesse entre deux instants t1 et t2
est la vitesse constante à laquelle il eut fallu avancer
pour couvrir le même espace dans le même temps.

Ceci justifie le calcul que nous avons fait peut-être sans trop savoir pourquoi :
espace total parcourru : (110+15+75) ; temps 2h
Vmoyenne = (110+15+75) / 2 = 95 km/h

Exemple pour éclairer la suite.
Voici la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps de l'exemple précédent.

Tout ceci pour vous faire remarquer que le calcul que nous avons fait
coïncide avec celui que nous devrions faire si nous voulions calculer
l'aire comprise entre la courbe représentative des vitesses et l'axe des temps.
( 110x60 + 30x10+90x50 ) / (60+10+50) Calculez, cela fait bien 95 km/h.

La valeur moyenne de la vitesse entre les instants t1 et t2
apparaît comme le quotient :

  • de l'aire comprise entre la courbe représentant ce signal en fonction du temps
    et l'axe des abscisses.
  • divisée par l'intervalle de temps t2 - t1

Ceci est l'énoncé intuitif d'une règle qui, pour le moment, ne semble s'appliquer
qu'aux mobiles se déplaçant à des vitesses variant par palliers.

La notion mathématique d'intégrale que nous verrons plus loin
(elle sera définie en s'appuyant sur cette même notion de surface)
nous permettra de généraliser la règle
à des fonctions vitessevariant continument.

Ce qui serait impossible par les méthodes élémentaires.

Autre exemple,
avec, cette fois, des valeurs négatives.

ll s'agit des avoirs en banque pour les six premiers mois de l'année.

Janvier +20 000
Février +10 000
Mars -20 000
Avril +26 000
Mai +16 000
Juin + 8 000

Qu'entendons-nous par la valeur moyenne du capital pendant ces six mois ?

Definition de la Valeur moyenne mensuelle d'un avoir en Banque
sur un certain nombre de mois.


C'est la valeur mensuelle d'un capital hypothétique
qui serait resté constant pendant cet intervalle de temps
et qui donnerait le même bilan au bout de ces six mois.

Autrement dit :
la somme des fluctuations au-dessus de cette valeur moyenne au cours de ce temps
serait égale à la somme des fluctuations au-dessous de cette valeur.

Le problème est différent du précédent, mais observez que l'adjectif "constant" demeure
ainsi que l'intervalle de calcul.
Dans les deux cas on cherche à évaluer une fonction constante qui aurait les mêmes effets que...

Calcul élémentaire d'abord.
Somme des avoirs sur les 6 mois : 60 000
(20+10-20+26+16+8 = 60)
Avec notre définition du capital moyen sur six mois : 10 000

Rapprochons-nous de la méthode des surfaces.
J'ai représente ci-dessous la même courbe mais :

  • j'ai tracé la droite représentant ladite moyenne
  • j'ai peint en jaune les fluctuations au-dessus de 10 000,
  • en rouge les fluctuations en dessous de 10 000.

Fluctuations autour de cette valeur moyenne :
+10000 ; 0 ; -30000 : +16000 ; +6000 ; -2000
elles s'équilibrent : +32000 contre - 32000

Encore une fois la même conclusion :
La droite d'ordonnée égale à la moyenne coupe la courbe des avoirs
en deux parties d'égales surfaces.

En définitive, nous venons de trouver deux problèmes différents (vitesse moyenne & capital moyen)
qui ont trouvé leur solution par le calcul de l' aire entre courbe et axe de la variable divisée par l'intervalle de mesure.

Valeur moyenne = Somme algébrique des aires / intervalle de variation

De très nombreux problèmes de physique se résolvent ainsi.

Mais...ces exemples étaient simples.
Supposez maintenant que la vitesse ou l'avoir en banque varient continument.
Nous ne pourrons pas raisonner aussi simplement.
Ou alors il faudra considérer de très nombreux palliers assez étroits
pour que l'on puisse considérer la fonction comme pratiquement constante à l'intérieur de chacun.
Quel travail ! Quel ennui !

Les math viennent à notre rescousse.
La notion d'intégrale va nous permettre de résoudre tous ces problèmes
à partir seulement de la fonction dont on cherche la moyenne.


Comment calculer la valeur moyenne d'un signal continument variable ?
Quel rapport avec les intégrales mathématiques ?
Notez que la notion de valeur moyenne n'a de sens que calculée entre deux valeurs de la variable.


.
Vous venez de voir deux problèmes qui se résolvent en partant du calcul
de l'aire comprise entre une courbe et l'axe de sa variable.

Mais comme je l'ai déjà fait remarquer plus haut,
il s'agit d'exemples particuliers où la valeur de la fonction,
certes variable d'un pallier à l'autre,
présente la particularité de rester constante dans chaque tronçon.
Nous allons ensemble généraliser cette notion de valeur moyenne à des fonctions continument variables.


Ce type de problèmes est tellement fréquent dans les divers domaines de physique,
que l'on a développé un outil mathématique spécial pour le résoudre :
la "fonction intégrale" ou "intégrale" tout court.

Je vous propose d'identifier d'abord ce type de problème.

Les initiés peuvent passer à la suite :

Jusqu'ici, nos signaux étaient un peu spéciaux
(graphiques constitués de segments de droite parallèles à l'axe des temps)

Que faire avec un signal dont la représentation est une courbe telle que celle-ci ?



Le calcul de l'aire comprise entre la courbe et l'axe de la variable ( ici " t " )
pourrait se faire graphiquement en divisant celle-ci en tranches de largeur " dt "
et en calculant l'aire de l'ensemble des rectangles obtenus.

Certes, l'aire obtenue n'est pas tout à fait celle cherchée
car on néglige ainsi de compter de nombreux interstices entre la courbe et les rectangles.

Mais intuitivement, on comprend que plus les tranches dt sont fines, plus elles sont nombreuses donc,
plus on se rapprochera de la valeur exacte de l'aire visée.

C'est d'ailleurs le seul moyen de calcul de la moyenne si la courbe a été tracée point par point.
(quand on n'en a pas l'équation)

Mais comme vous le savez, en physique on représente le plus souvent les grandeurs par des fonctions mathématiques.
On dit que l'on "modélise" le problème.
Ainsi on représente par exemple la vitesse en chûte libre par la fonction : v = v0 + g.t

C'est là que les mathématiciens nous viennent en aide !

Pour résoudre plus simplement et précisément ce type de problème,
ils ont inventé les "fonctions intégrales".

Si la fonction f(t) est connue, l'aire cherchée est :


On dit "Somme de t1 à t2 de f(t) dt"

Cette méthode mathématique garantit sous certaines restrictions, que le résultat trouvé
correspond à l'aire telle que nous venons de la décrire.



La valeur moyenne de la fonction f(t) entre t1 et t2 est donc :

Encore faut-il savoir calculer l'intégrale d'une fonction !

Mais là, il faut demander aux mathématiciens, mon travail se termine ici.

Pas tout à fait cependant ... !
car dans certains cas on peut se passer des intégrales
Voyez-donc la suite :.

Valeur moyenne d'un signal périodique

Rappelons que la notion de valeur moyenne n'a de sens que calculée entre deux valeurs de la variable.

Pour un signal périodique, l'intervalle considéré est typiquement une période du signa,
ou un nombre entier de périodes de ce signal,
ce qui revient au même.

Contrairement à une idée répandue, un sinal périodique n'a pas toujours une valeur moyenne nulle.
Exemple :

Mais certains signaux périodiques si.

Sachons distinguer : la figure de gauche ci-dessous décrit un signal sinusoïdal.
Sa valeur moyenne sur une période ou un nombre entier de périodes est nulle.

La figure de droite est le résultat de la somme d'un signal sinusoïdal et d'une d'un signal constant.
Sa valeur moyenne est égale au signal constant.

La moyenne de la somme de deux ou plusieurs signaux est la somme des valeurs moyennes
C
ela découle des propriétés des intégrales (voir math.)

Exercice :
Quelle est la période du signal :
1 - cos2t
Calculer sa valeur moyenne sur cette période.



Quelques signaux particuliers et leurs valeurs moyennes

Dents de scie

- Résolution par la géométrie -
L'aire d'un triangle est : S=(hauteur base)/2 ; ici : S = ( (ymax - ymin) T )/2
valeur moyenne = S / T = (ymax - ymin)/2

- Résolution par les intégrales -

Mise en équation d'une période: f(t) = ymin + ((ymax-ymin)/T).t
Aire S = Intégrale de [0] à [T] de { ymin.
dt + ((ymax-ymin)/T)t.dt }

En intégrant cette fonction : ymin.t + ((ymax-ymin)/2T).t2 + K constante d'intégration.
ymin.T + ((ymax-ymin)/2T) T2
en divisant par T pour obtenir la valeur moyenne : S / T
Vmoy = ymin + (ymax-ymin)/2

En passant, vous aurez remarqué que la valeur moyenne d'un signal constant est lui-même ( cas de ymin ci-dessus)

Cas d'une suite d'arches de sinusoïde



Ici, la géométrie ne nous rend aucun service : mettons donc le problème en équation.


Nous considérons le signal de 0 à T : y = A sin(wt).
pour t=T wt = pi


S = Integrale de [0] à [T] de { A.sinwt.dt}

avec wT =
Fonction intég
rée : -A/w cos wt
Valeur pour wt= : A/w
Valeur pour wt=0 : -A/w
Différence : S = 2A/w = 2AT/
Valeur moyenne = S/T = 2A/


( 2/ = environ 64% )

Exercice, calculer la valeur moyenne (sur une période) d'une sinusoïde simplement redressée

 

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