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Sujets traités dans cette page
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Exposé
Rappels sur la conversion CAN
Représentation impulsionnelle
Représentation fréquentielle - Fourier
Fonctions échantillonnées
 
 
 
 
 
 

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Bases de calcul numérique
1° -Fonctions échantillonnées

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Avertissement

Il s'agit dans la suite, de vous décrire les techniques du traitement numérique du signal.

Ce qui va suivre n'est pas un cours rigoureux de mathématiques.

C'est une suite de résultats tirés des techniques du traitement du signal
qui sont largement diffusées par ailleurs : net, revues, etc.

Mais elles le sont à l'intention de ceux seulement qui ont déjà un excellent niveau de mathématiques.

Il y a public pour faire confiance à ces mathématiciens spécialistes,
mais qui souhaiterait au moins savoir de quoi ils parlent !

C'est possible à condition d'abandonner toute idée de démonstration mathématique abstraite.
Ce que je ferai dans la suite.
Donner à chaque étape la signification matérielle des équations primordiales liées à ces techniques.
C'est parfaitement compréhensible, vous verrez.
C'est ce que je compte faire.

Un problème ? ... n'hésitez pas à courrieler :

Conversion Analogique-Numérique (Rappels)    

Pour appliquer un traitement numérique à un signal analogique il est indispensable de le numériser.
c.à.d. obtenir une suite de valeurs numériques (traduites en nombres binaires) qui le représentent.
Ce qu'on obtient grâce à un convertisseur analogique-numérique.


Chaque fois que l'on valide (signal électrique) la commande "Appel à conversion".
Ce convertisseur fournit en sortie un binaire n bits (ici 4) comme indiqué sur le graphique ci-dessus,

En activant périodiquement cette commande à intervalles réguliers, souvent symbolisés par " T "
et qu'un signal analogique est appliqué en entrée,
on obtient en sortie une suite de valeurs binaires (000 , 0001, 0010, 0011, etc.)
discrètes (elles ne donnent la valeur réelle du signal qu'aux instants de la validation).

On les appelle des échantillons.
La suite des valeur est un échantillonnage.

La fig. ci-dessus montre une suite de palliers.
En effet, le CAN affiche en sortie, le même nombre binaire
dans tout l'intervalle des tensions d'entrée comprises entre deux changements.

Entre deux changements de la tension d'entrée,
la sortie du convertisseur ne reflète pas la valeur exacte du signal d'entrée !

C'est pourquoi, dans la suite, nous tiendrons compte uniquement
des valeurs binaires correspondant au moment de l'activation de la commande "Appel à Conversion".


C'est ce qu'on appelle des échantillons du signal initial
réalisés avec une périodicité de " T " unités de temps appelée "Période d'échantillonnage"
F= 1 / T étant la fréquence d'échantillonnage.

Le signal numérique n'est pas défini
dans l'intervlle entre deux valeurs consécutives d'échantillonnage..



Pour finir

Un autre convertisseur (numérique-analogique CNA) convertira cette suite binaire résultant du traitement,
en signal analogique de sortie : les impulsions des graphiques de droite fig. préc.
Attention : ces impulsions sont de nature analogique.
Leur caractère discontinu provient du fait qu'elles traduisent des nombres discontinus.
Mais le signal numérique proprement dit est une suite de nombres.

Représentation d'un signal numérisé

Voici des représentations des échantillons du signal aux instants de conversion.

T est la période d'échantillonnage - f=1/T la fréquence d'achantillonnage.

A ce stade, le signal n'est plus qu'une suite de valeurs binaires.
Le traitement numérique consistera à transformer cette suite binaire d'entrée,
en une autre suite binaire correspondant àux divers échantillons du signal de sortie résultant du traitement.

Le dispositif matériel qui opère cette transformation se nomme généralement "Filtre Numérique"



Une autre représentation d'un signal : Séries de Fourier

Préambule : de quoi s'agit-il ?

Un signal périodique de fréquence F est la somme de signaux sinusoïdaux de fréquences F, 2F,3F,...nF
La sinusoïde de fréquence F est dite "fondamentale" (ou "harmonique 1").
Les autres sont appelées "harmoniques" de rang 2,3,...n

C'est un théorème qui a été mathématiquement démontré par Joseph Fourier (1768-1830).

On peut donc en conclure que deux signaux ne diffèrent que par les amplitudes relatives de leurs harmoniques.

Cela peut sembler étonnant, mais, par exemple, les sons naturels sont constitués
d'un son fondamental de fréquence F (pour un son musical c'est lui qui donne la note)
et d'harmoniques qui caractérisent l'instrument, la voix de tel chanteur, etc..
Un saxophone et une clarinette peuvent jouer la même note,
mais leurs sons diffèrent car les harmoniques qu'ils émettent il n'ont pas les mêmes proportions d'amplitudes.

Et notre oreille possède des cils internes de longueurs différentes vibrant avec plus ou moins d'amplitude
suivant l'harmonique que chacun perçoit, de manière à repérer globalement les proportions des divers harmoniques
et de reconnaître tel timbre de voix, telle sonorité d'instrument, tel bruit naturel...

On peut confondre un suspect en analysant les proportions d'harmoniques de sa voix au téléphone.
Elles sont caractéristiques de chaque voix. Comme les empreintes digitales.

Les compositions musicales sont écrites de manière que les harmoniques des voix et instruments de l'orchestre
coïncident les unes avec les autres, ce qu'on appelle l'harmonie.
Si des fréquences intermédiaires apparaissent, c'est la cacophonie.

Transformée de Fourier

Le mathématicien Joseph Fourier (1768-1830) a indiqué de plus une méthode
pour calculer les amplitudes des diverses fréquences harmoniques d'un signal analogique périodique.

C'est précisément l'objet de l'Analyse Harmonique. Lien Internet ici :

Du coup, nous nous trouvons en présence d'une nouvelle manière de réprésenter un signal.
Sa Représentation fréquentielle. - On dit aussi son Spectre Harmonique.

La fig. juste ci-dessus est un exemple de représentation fréquentielle d'un signal.

La somme de l'ensemble d'harmoniques EST le signal.

On l'appelle également une "Série de Fourier"
car elle se présente comme une somme, en principe infinie, de termes sinusoïdaux
de fréquences : f, 2f, 3f, etc...

Signal = Somme de l'ensemble des harmoniques


Eventuellement, il peut y avoir un premier terme a0 (valeur moyenne du signal).

Transformée de Fourier Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)
Pour les amateurs d'émotions fortes en Mathématiques lien ici :

La transformée de Fourier précédente s'applique aux signaux analogiques.

La FFT est une méthode poursuivant le même but mais à partir d'un signal numérique.
C.à.d. un signal donné par une suite de valeurs binaires fournies par un CAN.

Les processeurs numériques DSP (Digital Signal Processors) peuvent faire cette analyse très rapidement.

Les séries de Fourier sont à la base du traitement des signaux.

Une fois la série rapidement calculée, le processeur peut modifier mathématiquement ce signal
pour convenir à l'application souhaitée.
Puis, générer la suite des échantillonnages du signal de sortie vers le CNA final.

Fonctions échantillonnées
Expression mathématique d'un signal échantillonné

Fonction initiale du signal analogique : ya
ya = f(t)

Fonction numérique après échantillonnage : yn
yn = f(k)
k est le temps t au moment précis de l'échantillonnage

k = n.T
n entier, positif, négatif ou nul.
T
période d'échantillonnage.

Un exemple : fonction sinusoïdale.

Dans la littérature afférente au calcul numérique,
la variable "k" représente souvent les temps auxquels ont lieu les échantillonnages.


L'indice "s" donné à la période d'échantillonnage
provient de l'anglais "Sample - Sampling " : traduction d' "Échantillonnage".
La plupart des ouvrages en la matière étant écrits dans cette langue...

J'ai réalisé un grapheur vous permettant de visualiser toute fonction analogique et son échantillonnée.
Avec possibilité de varier les paramètres, les échelles, les fonctions, etc...
Si cela vous intéresse, c'est ici :




Préparations pour la suite

Dans le domaine complexe

(ne prenez pas peur, on trouvera un moyen pour vous expliquer clairement)

On pourra appliquer les formules d'Euler du domaine analogique...


...dans le domaine numérique

"Z" ensemble des naturels signés.

Domaine complexe

(ne prenez pas peur, on trouvera un moyen pour vous expliquer clairement)








Explication en cours d'élaboration...

 

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